习题 2 — 笛卡尔积的几何解释

题目

给出以下集合的笛卡尔积的几何解释:

(a) 两线段; (b) 两直线; (c) 直线与圆周; (d) 直线与圆面; (e) 两圆周; (f) 圆周与圆面.

解答

记 $I = [0,1]$, $\mathbb{R}$ 为实直线, $S^1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \}$ 为单位圆周, $D^2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1 \}$ 为闭单位圆面.

乘积	记号	几何解释
(a) $I \times I$	两线段	矩形 (含内部)
(b) $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$	两直线	平面 $\mathbb{R}^2$
(c) $\mathbb{R} \times S^1$	直线 $\times$ 圆周	无限长圆柱面 (无上下底)
(d) $\mathbb{R} \times D^2$	直线 $\times$ 圆面	无限长实心圆柱体
(e) $S^1 \times S^1$	圆周 $\times$ 圆周	环面 (甜甜圈表面)
(f) $S^1 \times D^2$	圆周 $\times$ 圆面	实心环体 (填满的甜甜圈)

评注

一般规律: 若 $X$ 是 $p$ 维几何对象, $Y$ 是 $q$ 维几何对象, 则 $X \times Y$ 的维数为 $p + q$.

• (a) $1 + 1 = 2$ (矩形)
• (c) $1 + 1 = 2$ (圆柱面, 二维流形)
• (d) $1 + 2 = 3$ (实心圆柱)
• (e) $1 + 1 = 2$ (环面, 二维流形)
• (f) $1 + 2 = 3$ (实心环体)